Question

设函数f（x）=log_a（

1

a

-

1

x

），其中0＜a＜1．
（1）证明f（x）在区间（a，+∞）上是减函数；
（2）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用导数求得函数t=（

1

a

-

1

x

）在区间（a，+∞）上是增函数，根据y=log_a t在区间（a，+∞）上是减函数，利用复合函数的单调性可得，f（x）在区间（a，+∞）上是减函数．
（2）由条件可得0＜

1

a

-

1

x

＜1，即

1

a

-1＜

1

x

＜

1

a

，由此解得x的范围．

解答： 解：（1）∵在区间（a，+∞）上，函数t=（

1

a

-

1

x

）＞0，且函数t的导数t′=

1

x2

＞0，
∴t是增函数．
又y=log_a t在区间（a，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）=log_a（

1

a

-

1

x

）在区间（a，+∞）上是减函数．
（2）∵log_a（

1

a

-

1

x

）＞0，0＜a＜1，
∴0＜

1

a

-

1

x

＜1，∴

1

a

-1＜

1

x

＜

1

a

，解得 a＜x＜

a

1-a

，
即所求的x的范围是（a，

a

1-a

）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．