Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2，AC=BC=

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，PA=PB，二面角P-AB-C的大小为45°，D、E分别是AB、AC的中点
（1）求证：BC∥平面PDE；
（2）求直线BE与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由D、E分别是AB、AC的中点，得到在△ABC中，DE是中位线，由此能够证明BC∥平面PDE．
（2）连结CD，交BE于O，过O作OF⊥PD，交PD于F，由已知条件推导出∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，由此能求出直线BE与平面PAB所成角的大小．

解答： （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴在△ABC中，DE是中位线，
∴DE∥BC，
∵DE?平面PDE，BC不包含于平面PDE，
∴BC∥平面PDE．
（2）解：如图，连结CD，交BE于O，过O作OF⊥PD，交PD于F，
∵AB=2，AC=BC=

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，PA=PB，二面角P-AB-C的大小为45°，
D、E分别是AB、AC的中点，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∴∠PDC是二面角P-AB-C的平面角，∴∠FDO=45°，
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD，
∵OF?平面PCD，∴OF⊥AB，
又∵OF⊥PD，PD∩AB=D，∴OF⊥平面PAB，
∴∠OBF是直线BF与平面PAB所成角的平面角．
∵CD=

( 10 )2-( 2 2 )2

=3，∴OD=

1

3

CD=1，
∴DF=OF=1•sin45°=

2

2

，BF=

DF2+BD2

=

1 2 +1

=

6

2

，
∴sin∠OBF=

OF

BF

=

2 2

6 2

=

3

3

，
∴∠OBF=arcsin

3

3

．
∴直线BE与平面PAB所成角的大小是arcsin

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．