Question

6．当x＞1时，不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，3]．

Answer 1

分析 依题意知，a≤（x+$\frac{1}{x-1}$）_min（x＞1），利用基本不等式可求得x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，从而可得实数a的取值范围．

解答 解：因为当x＞1时，不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，
所以，a≤（x+$\frac{1}{x-1}$）_min（x＞1），
因为x＞1时，x-1＞0，
所以x+$\frac{1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3（当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2时取“=”），
所以，（x+$\frac{1}{x-1}$）_min=3，
故a≤3，
故答案为：（-∞，3]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．