Question

11．己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=$\sqrt{3}$，连结AD，BC，得一几何体如图2示．

（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；
（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出OP⊥EF、PQ⊥EF，OQ⊥OP，从而EF⊥平面OPQ，进而EF⊥OQ，OQ⊥平面ABFE，由此能证明平面ABCD⊥平面ABFE．
（Ⅱ）以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在图3中，四边形ABCD为等腰梯形，
O、Q分别为线段AB、CD的中点，
∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴，
又AB∥EF∥CD，∴OP⊥EF、PQ⊥EF，①（2分）
在图4中，∵OQ²+OP²=PQ²，
∴OQ⊥OP，（3分）
由①及OP∩PQ=P，得EF⊥平面OPQ，∴EF⊥OQ，（4分）
又OP∩EF=P，∴OQ⊥平面ABFE，（5分）
又OQ?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ABFE．（6分）
解：（Ⅱ）在图4中，由∠A=45°，CD=2，解得PE=PF=3，AO=OB=4，（7分）
以O为原点，PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则B（0，4，0）、F（-1，3，0）、C（0，1，$\sqrt{3}$ ），
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，-3，$\sqrt{3}$），（8分）
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BCF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=3，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，3），（9分）
同理可得平面ADE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，-\sqrt{3}，3$），（10分）
设所求锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{9}{\sqrt{15}•\sqrt{15}}$=$\frac{3}{5}$，
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为$\frac{3}{5}$．（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．