Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n=S_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$，其前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，由2a₁=S₁+2=a₁+2，得a₁=2．
当n≥2时，由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$，以及a_n=S_n-S_n-1，
两式相减可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
则数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故${a_n}={2^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}$，
故其前n项和$\begin{array}{l}{T_n}=（\frac{1}{{{2^1}+1}}-\frac{1}{{{2^2}+1}}）+（\frac{1}{{{2^2}+1}}-\frac{1}{{{2^3}+1}}）+…（\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}）\end{array}$
化简可得T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．