Question

9．已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{{2^{x-1}}≤1}\\{{{log}_2}（y-1）≤0}\end{array}}\right.$上的一个动点，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OM}$的取值范围是[-2，0）．

Answer 1

分析 根据指数函数和对数函数的单调性便可将已知的不等式组变成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{1＜y≤2}\end{array}\right.$①，可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}=x-y$，并设z=x-y，从而y=x-z，-z便表示直线y=x-z在y轴上的截距，可画出不等式组①所表示的平面区域，这样由线性规划的知识即可求出z的范围，即得出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}$的取值范围．

解答 解：解2^x-1≤1得，x≤1，解log₂（y-1）≤0得，1＜y≤2；
∴点M（x，y）所在平面区域为$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{1＜y≤2}\end{array}\right.$①；
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}=（1，-1）•（x，y）=x-y$；
设z=x-y，即y=x-z，-z表示直线y=x-z在y轴上的截距，作出不等式组①所表示的平面区域如下图阴影部分所示：
由线性规划的知识得，0＜-z≤2；
∴-2≤z＜0；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OM}$的取值范围为[-2，0）．
故答案为：[-2，0）．

点评 考查指数函数、对数函数的单调性，对数函数的定义域，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，以及根据线性规划的知识求变量范围的方法，能找出不等式组所表示的平面区域．