Question

9．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到；
（3）利用“五点作图法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求其最小正周期；
（2）根据函数图象变换规律，写出图象变换过程；
（3）先将内层函数ωx+φ看作整体，取正弦函数的五个关键点横坐标值，列出函数取值表，再依表描点，用平滑的曲线将其连接即可得函数f（x）在一个周期内的图象

解答 解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1，x∈R．
=2sin²x+2sinxcosx-1，
=sin2x-cos2x，
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（2）y=sinx沿x轴向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$），
将y=sin（x-$\frac{π}{4}$）图象横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到y=sin（2x-$\frac{π}{4}$），
将y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象纵坐标伸长为原来的$\sqrt{2}$倍，得到y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
（3）列表：

2x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	$\frac{9π}{8}$
y	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	0

函数f（x）在一个周期内的图象如图：

点评 本题考察了将三角函数式通过三角变换公式化为y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角恒等变换规律，三角函数的图象和性质，五点法作y=Asin（ωx+φ）型函数图象的步骤，属于中档题．