Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，试判断下列三角形的形状：
（1）acosA=bcosB；
（2）bcosA=acosB；
（3）a=2bcosC．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化边为角，然后利用角的正弦值相等得到角的关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正弦定理化边为角，由两角差的正弦公式得到sin（B-A）=0，再由角的范围得到A=B，从而判断三角形的形状；
（3）利用正弦定理化边为角，把A用B+C表示，展开两角和的正弦后再利用两角差的正弦公式得到sin（B-C）=0，再由角的范围得到C=B，从而判断三角形的形状．

解答： 解：在△ABC中，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC．
（1）∵acosA=bcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=

π

2

，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形；
（2）∵bcosA=acosB，
∴sinBcosA=sinAcosB，
sinBcosA-sinAcosB=0，
∴sin（B-A）=0，
∵-π＜B-A＜π，
∴B-A=0，即A=B．
∴△ABC为等腰三角形；
（3）∵a=2bcosC，
∴sinA=2sinBcosC，
sin（B+C）=2sinBcosC，
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，
sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C．
∴△ABC为等腰三角形．

点评：本题考查三角形形状的判定，考查了正弦定理得用法，灵活运用两角和与差的三角函数是解答该题的关键，是中档题．