Question

已知函数f（x）=lnx+

x2

2

-kx，其中常数k∈R．
（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；
（2）若f（x）存在极值且有唯一零点x₀，求k的取值范围及不超过

x0

k

的最大整数m．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）对f（x）求导，分成k≤2和k＞2两种情况分别讨论其单调性；
（2）由（1）知，只有k＞2时才存在极值．通过判断f（x）的极大值f(x1)=lnx1+x1(

x1

2

-k)＜0，从而判断f（x）的极小值f（x₂）＜f（x₁）＜0，也就是零点存在区间不会在（0，x₂）上，再通过计算f(2k)=ln(2k)+

4k2

2

-2k2=ln(2k)＞0，由零点的存在性定理，从而确定唯一零点x₀的存在区间（x₂，2k），进一步地，通过计算f(k)=lnk+

k2

2

-k2=lnk-

k2

2

＞0，最终确定k＜x0＜2k，1＜

x0

k

＜2，从而得出结论．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

+x-k=

x2-kx+1

x

(x＞0) 
①当k≤2时，f′(x)=

1

x

+x-k≥2

1 x •x

-k=2-k≥0，则函数f（x）为增函数．
②当k＞2时，f′(x)=

(x-x1)(x-x2)

x

，
其中0＜x1=

k- k2-4

2

＜x2=

k+ k2-4

2

x，f′（x），f（x）的取值变化情况如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

综合①②知当k≤2时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当k＞2时，f（x）的增区间为(0，

k- k2-4

2

)与(

k+ k2-4

2

，+∞)，
减区间为(

k- k2-4

2

，

k+ k2-4

2

)．
（2）由（1）知当k≤2时，f（x）无极值，
当k＞2时，0＜x1=

k- k2-4

2

=

2

k+ k2-4

＜1知
f（x）的极大值f(x1)=lnx1+x1(

x1

2

-k)＜0，f（x）的极小值f（x₂）＜f（x₁）＜0，
故f（x）在（0，x₂）上无零点．
f(2k)=ln(2k)+

4k2

2

-2k2=ln(2k)＞0，又1＜x2=

k+ k2-4

2

＜k，
故函数f（x）有唯一零点x₀，且x₀∈（x₂，2k）．
又f(k)=lnk+

k2

2

-k2=lnk-

k2

2

，记g（k）=lnk-

k2

2

 （k＞2），
g′(x)=

1

k

-k=

1-k2

k

＜0，则g（k）＜g(2)=ln2-

22

2

=ln2-2＜0，
从而f（k）＜0，k＜x0＜2k，1＜

x0

k

＜2，
故k的取值范围是（2，+∞）且不超过

x0

k

的最大整数m=1．

点评：本题的难点在于求唯一零点x₀的存在区间，通过函数性质和零点的存在性定理的分析，不断缩小零点所在区间，直至可以确定“不超过

x0

k

的最大整数m”为止．对于学生而言，需要自主的寻找零点可能存在的区间，所以，学生往往不容易把握这样的题目．