Question

若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．
（1）判断下列函数：①y=x²；②y=lgx中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：函数g（x）=2x+3是等比源函数；
（3）判断函数f（x）=2^x+1是否为等比源函数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）①利用等比数列的性质和等比源函数的概率推导出y=x²，y=lgx都是等比源函数．
（2）由g（x）=2x+3，推导出g（1）=5，g（6）=15，g（21）=45，由5，15，45成等比数列，得到函数g（x）=2x+3是等比源函数．
（3）函数f（x）=2^x+1不是等比源函数．例用反证法能证明函数f（x）=2^x+1不是等比源函数．

解答： 解：（1）①∵1²，2²，4²，8²构成等比数列，
∴y=x²是等比源函数．
②∵lg10，lg100，lg10000构成等比数列，
∴y=lgx是等比源函数．（4分）
（2）证明：∵g（x）=2x+3，
∴g（1）=2+3=5，g（6）=12+3=15，g（21）=42+3=45，
∵5，15，45成等比数列
∴函数g（x）=2x+3是等比源函数．（10分）
（3）函数f（x）=2^x+1不是等比源函数．
证明如下：
假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，
则（2ⁿ+1）²=（2^m+1）（2^k+1），
整理得2²ⁿ+2ⁿ⁺¹=2^m+k+2^m+2^k，
等式两边同除以2^m，得2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，
∴等式2^2n-m+2^n-m+1=2^k+2^k-m+1不可能成立，
∴假设不成立，
∴函数f（x）=2^x+1不是等比源函数．（18分）

点评：本题考查等比源函数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．