Question

14．已知函数f（x）=x-alnx-1（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥2时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．
（2）由f（x）≥0对x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，令f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，解得：x=a，
f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
当a≤2时，f'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
则f（x）是单调递增的，
则f（x）＞f（2）＞f（1）=0恒成立，则a≤2，
当a＞2时，在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以x∈（2，a）时，f（x）＜f（2）＜f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，
故不成立
综上：a≤2．

点评 本题考查函数的导数以及利用到输球函数的单调区间和极值问题；考查了利用函数的导数讨论含参数不等式的恒成立问题，求参数的取值范围，主要转化为函数的最值问题利用导数这一工具来求解．