Question

9．要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为10$\sqrt{6}$cm．

Answer 1

分析 设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．

解答 解：设圆锥的高为h cm，
∴V_圆锥=$\frac{1}{3}$π（900-h²）×h，
∴V′（h）=$\frac{1}{3}$π（900-3h²）．令V′（h）=0，
得h²=300，∴h=10$\sqrt{3}$（cm）
当0＜h＜10$\sqrt{3}$时，V′＞0；
当10$\sqrt{3}$＜h＜30时，V′＜0，
∴当h=10$\sqrt{3}$，r=10$\sqrt{6}$cm时，V取最大值．
故答案为10$\sqrt{6}$．

点评 本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题．