Question

5．如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 16π
• C． 24π
• D． 25π

Answer 1

分析 由三视图还原原几何体为三棱锥，底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥BD，侧棱AB⊥底面BCD，AB=BC=2，BD=4．利用补形思想求出该棱锥外接球的半径得答案．

解答 解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体为三棱锥，底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥BD，
侧棱AB⊥底面BCD，AB=BC=2，BD=4．
该几何体的外接球即为以B为顶点，以BC，BA，BD为棱的长方体的外接球，
则外接球的直径2R=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{6}$，
∴R=$\sqrt{6}$．
∴该球的表面积为4π×$（\sqrt{6}）^{2}=24π$．
故选：C．

点评 本题考查由三视图求几何体体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．