Question

10．已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，都有a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²且a_n＞0．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$，记S_n=$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{b}_{i}$，如果S_n＜$\frac{m}{9}$对任意的n∈N^*恒成立，求正整数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知a₁=1．当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，由此可知a₂=2．
（2）由题意知，a_n+1³=（a₁+a₂++a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂++a_n）²，由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂++a_n）+a_n+1．同样有a_n²=2（a₁+a₂++a_n-1）+a_n（n≥2），由此得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．所以a_n+1-a_n=1．所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．
（3）求得b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$=$\frac{8（n+3）}{（n+2）^{2}（n+4）^{2}}$=2[$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S_n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥$\frac{25}{8}$，进而得到所求最小值．

解答 解：（1）当n=1时，有a₁³=a₁²，
由于a_n＞0，所以a₁=1．
当n=2时，有a₁³+a₂³=（a₁+a₂）²，
将a₁=1代入上式，可得a₂²-a₂-2=0，
由于a_n＞0，所以a₂=2．
（2）由于a₁³+a₂³+…+a_n³=（a₁+a₂+…+a_n）²，①
则有a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²．②
②-①，得a_n+1³=（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）²-（a₁+a₂+…+a_n）²，
由于a_n＞0，所以a_n+1²=2（a₁+a₂+…+a_n）+a_n+1．③
同样有a_n²=2（a₁+a₂+…+a_n-1）+a_n（n≥2），④
③-④，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n．
所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即当n≥1时都有a_n+1-a_n=1，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
故a_n=n．
（3）b_n=$\frac{8{a}_{n+3}}{{{a}_{n+2}}^{2}{{a}_{n+4}}^{2}}$=$\frac{8（n+3）}{（n+2）^{2}（n+4）^{2}}$=2[$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]，
则S_n=2[$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{25}$-$\frac{1}{49}$+$\frac{1}{36}$-$\frac{1}{64}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+3）^{2}}$+$\frac{1}{（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]
=2[$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{（n+3）^{2}}$-$\frac{1}{（n+4）^{2}}$]＜2×$\frac{25}{144}$=$\frac{25}{72}$，
S_n＜$\frac{m}{9}$对任意的n∈N^*恒成立，可得$\frac{m}{9}$≥$\frac{25}{72}$，
即有m≥$\frac{25}{8}$，
可得正整数m的最小值为4．

点评 本题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识．