Question

15．已知a_n=$\frac{n（1-b）+3b-2}{{{b^{n-1}}}}$（b＞1，n≥2），若对不小于4的自然数n，恒有不等式a_n+1＞a_n成立，则实数b的取值范围是（3，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意可得b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，再根据数列的函数特征，即可求出b的取值范围．

解答 解：若对不小于4的自然数n，恒有不等式a_n+1＞a_n成立，
则$\frac{（n+1）（1-b）+3b-2}{{b}^{n}}$＞$\frac{n（1-b）+3b-2}{{b}^{n-1}}$，
即（n+1）（1-b）+3b-2＞n（1-b）b+3b²-2b，
即（1-b）（n+1-nb）＞（3b-2）（b-1），
∵b＞1，
∴nb-（n+1）＞3b-2，
∴b（n-3）＞n-1，
∵n≥4，
∴b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，
∵设T_n=1+$\frac{2}{n-3}$，当n≥4时，该数列为递减数列，
∴1+$\frac{2}{n-3}$≤1+$\frac{2}{4-3}$=3，
∴b＞3，
故b的取值范围为（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）

点评 本题考查数列递推关系式的应用，突出考查等价转化思想与构造函数思想的综合运用，求得b＞$\frac{n-1}{n-3}$=1+$\frac{2}{n-3}$，也是难点，亮点，属于中档题．