Question

20．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x＜9}\\{\frac{9}{x}+1，x≥9}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=c（a≠b），且f′（a）＜0（f′（x）为函数f（x）的导数），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． c＜a＜b
• B． a＜b＜c
• C． c＜b＜a
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，求出导数，判断可得a＞9，1＜b＜9，0＜c＜2，求出b=3^c，b-c=3^c-c，0＜c＜2，由g（c）=3^c-c，0＜c＜2，求出导数，判断单调性，可得b＞c，即可得到所求大小关系．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x＜9}\\{\frac{9}{x}+1，x≥9}\end{array}\right.$的图象，
由f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{xln3}，0＜x＜9}\\{-\frac{9}{{x}^{2}}，x≥9}\end{array}\right.$，
可得1＜b＜9，a＞9，
log₃b=$\frac{9}{a}$+1=c，
可得0＜c＜2，
b=3^c，b-c=3^c-c，0＜c＜2，
由g（c）=3^c-c，0＜c＜2，
g′（c）=3^cln3-1＞0，
g（c）在（0，2）递增，可得g（c）＞g（0）=1＞0，
即有b＞c，
即a＞b＞c．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用：比较自变量的大小，注意运用数形结合的思想方法和构造函数，运用单调性，考查判断能力和分析问题的能力，属于中档题．