Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）已知直线y=x+1与g（x）=f′（x）相切，求a的值；
（2）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）＞bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），故g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′(x)=2a-

1

x

，设切点为（t，g（t）），由斜率k=g′（t）=2a-

1

t

=1，及g（t）=t+1，
联立方程可解得a．
（2）依题意x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，构造函数g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用导数可求得g（x）_min，从而可求得实数b的取值范围；
（3）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围；

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），故g（x）=2ax-lnx，（x＞0），
g′(x)=2a-

1

x

，设切点为（t，g（t）），∴斜率k=g′（t）=2a-

1

t

=1，∵g（t）=t+1，∴2at-lnt=t+1，∴

2a- 1 t =1 2at-lnt=t+1

，
解得t=1，a=1．
（2）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，∴g′(x)=

lnx

x2

，可得g（x）在（0，1]上递减，
在[1，+∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0．
（3）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，设h（x）=

lnx

x

，∴h′(x)=

1-lnx

x2

，
当x=e时，h（x）_max=

1

e

，
∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

，
g′（x）=0，x=

1

2a

，x∈（0，

1

2a

），g′（x）＜0，x∈（

1

2a

，+∞），g′（x）＞0，
∴x=

1

2a

时取得极小值，即最小值．
而当0＜a＜

1

2e

时，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调，
∴a≥

1

2e

．

点评：此题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．