Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），则数列{$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$}的前10项和为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{11}{12}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），
∴当n=1时，a₁=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$-$\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）$，化为：a_n=3ⁿ，
当n=1时，上式成立，
∴a_n=3ⁿ．
则$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴数列{$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$}的前10项和S₁₀=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{11}-\frac{1}{12}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$=$\frac{5}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．