Question

已知各项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=a₁（a_n-1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=a₁（a₁-1），∵a₁≠0，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，
∴b_n=

log22n

2n

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．