Question

定义运算

a b c d

=ad+bc
（1）若

3 sin x 4 1 cos2 x 4 cos x 4

=0，求cos（

2

3

π-x）的值；
（2）记f（x）=

3 sin x 4 cos2 x 4 1 cos x 4

，在△ABC中，有A，B，C满足条件：sinAcosB-cosBsinC=cosCsinB-cosBsinA，求函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,新定义,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：解：（1）由已知化简可得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，从而有倍角公式可得cos（

2

3

π-x）=2cos²（

π

3

-

x

2

）-1=-

1

2

．
（2）由（1）可得f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，由sinAcosB-cosBsinC=cosCsinB-cosBsinA化简可求得B=

π

3

，可得A∈（0，

2π

3

），求得

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，从而可求得函数f（A）的值域．

解答： 解：（1）由

3 sin x 4 1 cos2 x 4 cos x 4

=0，得

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=0
⇒

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=0
⇒sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

∴cos（

2

3

π-x）=2cos²（

π

3

-

x

2

）-1=-

1

2

（2）由（1）可知f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

∵sinAcosB-cosBsinC=cosCsinB-cosBsinA
∴2sinAcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π
∴B+C=π-A
∴2sinAcosB=sinA
∵sinA≠0
∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π）
∴B=

π

3

∴A∈（0，

2π

3

）
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴1＜sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

＜

3

2

∴函数f（A）的值域是（1，

3

2

）．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，三角函数的求值，新定义，综合性较强，属于中档题．