Question

在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，，且是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer 1

证明：（Ⅰ）取的中点，连接.
在△中，是的中点，是的中点，所以，
又因为，
所以且.
所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，
故平面.                                     …………… 4分
解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.           ……………1分                                             
由已知可得

（Ⅰ）， .      ……………2分
设平面的一个法向量是.
由得  
令，则.                               ……………3分
又因为，
所以，又平面，所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.
因为平面，所以.
又因为，所以平面.
故是平面的一个法向量.
所以，又二面角为锐角，
故二面角的大小为.                           ……………10分
（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.
不妨设（），则.
所以，
由题意得，
化简得，
解得.
所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分

略