Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）当a=b=1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈（1，e）使得函数y=f（x）图象上的点落在

1＜x＜e y＜0

所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数确定切线的斜率，求出切点坐标，即可求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负求f（x）的单调性；
（3）依题意，对?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，即对?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），ax²+bx-lnx＜0成立，分离参数求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）当a=b=1时，f（x）=x²+x-lnx，
∴f′（x）=2x+1-

1

x

，f′（1）=2，
∵f（1）=2，∴函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=2（x-1），即2x-y=0；
（2）f′（x）=2ax+（2-a）-

1

x

=

(ax+1)(2x-1)

x

，
-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2时，f（x）的增区间为（-

1

a

，

1

2

），减区间为（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞）；
-

1

a

=

1

2

，即a=-2时，f（x）的减区间为（0，+∞）；
-

1

a

＞

1

2

，即a=-2时，f（x）的增区间为（

1

2

，-

1

a

，减区间为（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）．
（3）依题意，对?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立
即对?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），ax²+bx-lnx＜0成立，…（10分）
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）内有解，即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）内有解，
即a＜(

lnx+x

x2

)max…（11分）
令g(x)=

lnx+x

x2

，则g′(x)=

-x(x-1+2lnx)

x4

，
∵x∈（1，e），∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）内单调递减，…（13分）
又g（1）=1，∴a＜1      …（14分）

点评：本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性，切线方程，属于中档题．