Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等实根．问是否存在实数m、n（m＜n）使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]．如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件分别列出三个方程联立求得a和b和c的值．
（2）对n≤1，m≥1和m＜1，n＞1进行分类通论，根据二次函数的图象找到函数的最大值和最小值表达式，联立方程求得m和n进行验证．

解答： 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴函数的对称轴方程x=-

b

2a

=1，①，
f（2）=4a+2b+c=0，②，
∵方程f（x）=x有两个相等实根．
∴对于f（x）-x=ax²+（b-1）x+c=0，△=（b-1）²-4ac=0，③
联立①②③求得a=-

1

2

，b=1，c=0，
∴f（x）=-

1

2

x²+x，
（2）①当n≤1时，函数f（x）在[m，n]单调减，则

- 1 2 n2+n=3m - 1 2 m2+m=3n

，求得n=-4，m=-4，（与m＜n矛盾）或n=12，m=-20，与n≤1矛盾，
②当m≥1时，函数f（x）在[m，n]单调增，则

- 1 2 n2+n=3n - 1 2 m2+m=3m

，求得n=0或n=-4，均不符合题意，
同理当m＜1，n＞1时，3m=-

1

2

+1，m=

1

6

，
令f（m）=-

1

2

×

1

36

+

1

6

=

11

72

=3n，求得n＜1，不符合题意，
令f（n）=-

1

2

n²+n=3n，求得n=0或-4，与n＞1矛盾，
综合可知不存在这样的n和m，

点评：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生的数形结合思想和分类讨论思想的运用．