Question

7．已知圆P：x²+y²-4y=0及抛物线$S：y=\frac{x^2}{8}$，过圆心P作直线l，此直线与两曲线有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为（　　）

• A． $y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$
• B． $y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$或$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$
• C． $y=\sqrt{2}x+2$
• D． $y=\sqrt{2}x+2$或$y=-\sqrt{2}x+2$

Answer 1

分析 先确定圆P的标准方程，求出圆心与直径长，设出l的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，可得直线l的斜率的值，即可求出直线l的方程．

解答 解：圆P的方程为x²+（y-2）²=4，则其直径长|BC|=4，圆心为P（0，2），
∵AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴|AB|+|CD|=2|BC|=8，即|BC|=4，
又|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=3|BC|=12．
设直线l的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x²=8y得：x²-8kx-16=0，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），有$\left\{\begin{array}{l}△=64{k^2}+64＞0\\{x_1}+{x_2}=8k，\;\;\\{x_1}{x_2}=-16，\;\;\end{array}\right.$，∴$|AD|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+{k^2}）（64{k^2}+64）}=8（{k^2}+1）$，
∴8（k²+1）=12，即${k^2}=\frac{1}{2}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴直线l的方程为$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$或$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+2$，
故选：B．

点评 本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键，综合性较强，运算量较大．