Question

18．已知函数y=f（x），给出下列结论：
①若对于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，则f（x）为R上的增函数；
②若f（x）为R上的偶数，且在（-∞，0]上是减函数，f（-1）=0，则f（x）＞0的解集为（-1，1）；
③若f（x）是奇函数，在定义域（-2，2）上单调递增，则不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0的解集为（-∞，3）．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 写出①的等价命题判断①正确；由题意求出f（x）＞0的解集说明②错误；由f（x）是奇函数，在定义域（-2，2）上单调递增，把不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0转化为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2+x＜2}\\{-2＜2x-1＜2}\\{2+x＞2x-1}\end{array}\right.$求解，说明③错误．

解答 解：①，若对于任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，则x₂-x₁与f（x₂）-f（x₁）同号，说明f（x）为R上的增函数，故①正确；
②，若f（x）为R上的偶数，且在（-∞，0]上是减函数，f（-1）=0，则f（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞），故②错误；
③，若f（x）是奇函数，在定义域（-2，2）上单调递增，则不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0等价于f（2+x）＞f（2x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2+x＜2}\\{-2＜2x-1＜2}\\{2+x＞2x-1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}＜x＜0$，则不等式f（2+x）+f（1-2x）＞0的解集为（-$\frac{1}{2}$，0），故③错误．
∴正确的结论是1个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的奇偶性、单调性的性质，训练了利用函数的单调性求解不等式，是中档题．