Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤2x成立．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立，令x=1，可得f（1）=2，
（2）由①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，及f（x）的最小值为0，结合（1）中f（1）=2，可得函数的解析式，
（3）若当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．则当x∈[1，m]时，

1

2

（x+t+1）²≤2x成立．即x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0成立，令g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，则

g(1)≤0 g(m)≤0

，解不等式组可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立，
令x=1，则2≤f（1）≤2，
∴f（1）=2，
（2）∵①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，
∴函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口朝上，且以直线x=-1为对称轴，
又∵f（x）的最小值为0，
∴f（x）=a（x+1）²，
由（1）中f（1）=2，
∴a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

（x+1）²，
（3）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．
∴当x∈[1，m]时，

1

2

（x+t+1）²≤2x成立．
即x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0成立，
令g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，
则

g(1)≤0 g(m)≤0

，即

t2+4t≤0 m2+(2t-2)m+t2+2t+1

，
解得：

-4≤t≤0 1-t-2 -t ≤m≤1-t+2 -t

，
∴m≤1-t+2

-t

≤1-(-4)+2

-(-4)

=9，
即实数m的最大值为9．

点评：本题考查的知识点是二次函数解析式的求法，抽象函数，函数恒成立问题，难度中档．