Question

如右图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinwx（A＞0，w＞0），x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S（3，2

3

），赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动会的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求A，w的值和M，P两点间的距离；
（2）如何设计，才能使这线段赛道MNP最长？

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：应用题

分析：（1）由最高点S的坐标，周期公式，两点间距离公式，可求A，w的值和M，P两点间的距离；
（2）在△MNP中设∠PMN=θ，由正弦定理可得NP+MN=

10 3

3

sin（θ+60°），由0°＜θ＜60°可知当θ=30°时，折线段MNP最长．

解答： 解：（1）依题意，有A=2

3

，

T

4

=3，又T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

，∴y=2

3

sin

π

6

x，
当x=4时，y=2

3

sin

2π

3

=3．∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP=

42+32

=5．
（2）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°＜θ＜60°，
由正弦定理得

MP

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
∴NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin（60°-θ）
故NP+MN=

10 3

3

sinθ+

10 3

3

sin（60°-θ）=

10 3

3

（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）=

10 3

3

sin（θ+60°）
∵0°＜θ＜60°
∴当θ=30°时，折线段MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段MNP最长．

点评：本题主要考察了在实际问题中建立三角函数模型，余弦定理的应用，属于中档题．