Question

已知函数f（x）=ax²+bx-a-ab（a≠0），当x∈（-1，3）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）在（-1，2）内的值域；
（2）若方程f（x）=c在[0，3]有两个不等实根，求c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意，-1，3是方程ax²+bx-a-ab=0的两根，求得得a和b的值，可得二次函数f（x）的解析式，从而求得f（x） 在（-1，2）内的值域．
（2）由题意可得x²-2x+c-3=0，在[0，3]有两个不等实根，设g（x）=x²-2x+c-3，则

g(1)＜0 g(0)≥0 g(3)≥0

，由此解得c的范围．

解答： 解：（1）由题意，-1，3是方程ax²+bx-a-ab=0的两根，可得a=-1，b=2，
则f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4 在（-1，2）内的值域为（0，4]．
（2）方程-x²+2x+3=c，即x²-2x+c-3=0，在[0，3]有两个不等实根，
设g（x）=x²-2x+c-3，则

g(1)＜0 g(0)≥0 g(3)≥0

，解得3≤c＜4．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．