Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数F（x）=f（x）-x1nx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由：
（3）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=e^x-a；由导数的正负确定函数的单调性；
（2）先求函数F（x）=f（x）-x1nx的定义域，由F（x）=0可化为a=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），从而令h（x）=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），求导h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，从而由导数求单调性并求最值；
（3）当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；从而由导数确定恒成立问题．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a；
当a≤0时，f′（x）＞0；函数f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0；
函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）；
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在R上是增函数；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）；

（2）F（x）=f（x）-x1nx的定义域为（0，+∞），
由F（x）=0得，a=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，（x＞0），则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0；当x＞1时，h′（x）＞0；当0＜x＜1，h′（x）＜0；
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
故h（x）≥h（1）=e-1；
又由（1）知，当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0；
即e^x-1＞x，故

ex-1

x

＞1；
∵x＞0，∴

ex-1

x

＞0，
当x→0时，lnx→-∞，∴h（x）→+∞；
当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点，
当a=e-1时，函数F（x）有且级有一个零点，
当a＜e-1时，函数F（x）没有零点；

（3）由（2）知，当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；
构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，
则H（x）＞H（0），
则?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，
帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，
所以满足题意的a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．