Question

已知数列{a_n}满足：

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₄=28，则{a_n}的通项公式为a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知结合数列递推式求出a₁，a₂，a₃，归纳猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明得答案．

解答： 解：由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₄=28，
得：

28+a3-1

28-a3+1

=3，解得a₃=15．
再代入

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），
得：

15+a2-1

15-a2+1

=2，解得a₂=6．
同理求得a₁=1，
∴a1=1=2×12-1，
a2=6=2×22-2，
a3=15=2×32-3，
a4=28=2×42-4，
由上猜测an=2n2-n．
下面由数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=1=2×12-1成立，
②假设n=k时成立，即ak=2k2-k，
那么，当n=k+1时，
由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得：
a_k+1+a_k-1=ka_k+1-ka_k+k，
即ak+1=

k+1

k-1

•ak-

k+1

k-1

=

k+1

k-1

•(2k2-k)-

k+1

k-1

=2（k+1）²-（k+1）．
综①②所述，an=2n2-n．
故答案为：2n²-n．

点评：本题考查数列递推式，考查了利用归纳、猜测、然后利用数学归纳法求解数列通项公式的方法，是中档题．