Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），关于数列{a_n}有下列命题：
①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则a_n=a_n+1（n∈N^*）；
②若S_n=an²+bn，（a，b∈R），则{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列；
④若{a_n}是等比数列，则S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）也成等比数列；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：对于①，直接由等差数列和等比数列的定义列式判断；
对于②和③，利用给出数列的和求通项的方法分类求出通项，然后由等差数列和等比数列的定义加以验证；
对于④，举反例加以说明．

解答： 解：对于①，若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则a_n+1-a_n=d，

an+1

an

=q，
即（q-1）a_n=d．
若q=1，有a_n=a_n+1（n∈N^*）．
若q≠1，则an=

d

q-1

为常数，则有a_n=a_n+1（n∈N^*）．
∴命题①正确；
对于②，由S_n=an²+bn，（a，b∈R），
当n=1时，a₁=S₁=a+b，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an2+bn-[a(n-1)2+b(n-1)]=2an-a+b．
当n=1时a₁适合上式．
∴a_n=2an-a+b．满足a_n+1-a_n=2a为常数．
∴命题②正确；
对于③，若S_n=1-（-1）ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1-(-1)n-[1-(-1)n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
当n为奇数时，a_n=2．当n为偶数时，a_n=-2．
∴{a_n}是等比数列．
命题③正确；
对于④，{a_n}是等比数列，如1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…
则S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）不成等比数列．
命题④错误．
∴正确的命题是：①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查等差数列和等比数列的有关基础知识，考查等比数列的性质，解答的关键在于对基础知识的理解与掌握．是基础题．