Question

设函数f（x）=

1

5x2+16x+23

，L为曲线C：y=f（x）在点（-1，

1

12

）处的切线．
（1）求L的方程；
（2）当x＜-

1

5

时，证明：除切点（-1，

1

12

）之外，曲线C在直线L的下方；
（3）设x₁，x₂，x₃∈R，且满足x₁+x₂+x₃=-3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=-1时的导数，然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）利用数学转化思想方法把问题转化为证明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可，构造函数g(x)=5x3+11x2+7x+1(x≤

1

5

)，
由导数证明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）分当x1＜-

1

5

，x2＜-

1

5

，x3＜-

1

5

时和当x₁，x₂，x₃中至少有一个大于等于-

1

5

时结合（2）中的结论求得f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最大值．

解答： （1）解：∵f（x）=

1

5x2+16x+23

，
∴f′(x)=-

10x+16

(5x2+16x+23)2

，
∴f′(-1)=-

1

24

．
∴L的方程为y-

1

12

=-

1

24

(x+1)，即y=-

1

24

x+

1

24

；
（2）证明：要证除切点（-1，

1

12

）之外，曲线C在直线L的下方，
只需证明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，

1

5x2+16x+23

＜-

1

24

x+

1

24

恒成立．
∵5x²+16x+23＞0，
∴只需证明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可．
设g(x)=5x3+11x2+7x+1(x≤

1

5

)，
则g′（x）=15x²+22x+7=（x+1）（15x+7）．
令g′（x）=0，解得x₁=-1，x2=-

7

15

．
当x∈(-∞，-1)，(-

7

15

，-

1

5

)时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈(-1，-

7

15

)时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴明?x∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）①当x1＜-

1

5

，x2＜-

1

5

，x3＜-

1

5

时，
由（2）知，f(x1)=

1

5x12+16x1+23

≤-

1

24

x1+

1

24

，
f(x2)=

1

5x22+16x2+23

≤-

1

24

x2+

1

24

，
f(x3)=

1

5x32+16x3+23

≤-

1

24

x3+

1

24

．
三式相加得：f(x1)+f(x2)+f(x3)≤-

1

24

(x1+x2+x3)+

1

8

．
∵x₁+x₂+x₃=-3，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

4

，当且仅当x₁=x₂=x₃=-1时取等号．
②当x₁，x₂，x₃中至少有一个大于等于-

1

5

时，
不妨设x1≥-

1

5

，则5x12+16x1+23=5(x1+

8

5

)2+

51

5

≥5(-

1

5

+

8

5

)2+

51

5

=20，
∵5x22+16x2+23=5(x2+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，5x32+16x3+23=5(x3+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

20

+

5

21

+

5

21

＜

1

4

．
综上所述，当x₁=x₂=x₃=-1时，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）取到最大值

1

4

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，综合考查了学生的计算能力和灵活思维问题和解决问题的能力，是压轴题．