Question

已知命题P：实数a满足|a-1|＜6，命题Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x≥0}且A∩B=∅．
（1）求命题Q为真命题时的实数a的取值范围；
（2）设P，Q皆为真时a的取值范围为集合S，T={y|y=x+

m

x

，x∈R，m＞0}，若∁_RT⊆S，求m取值范围．

Answer 1

考点：补集及其运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,集合

分析：（1）若命题Q为真命题，则设x²+（a+2）x+1=0判别式为△，当△＜0时，A=∅，此时△＜0，当△≥0时，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

，解得，再求并集即可；
（2）求得P，Q皆为真时a的取值范围为集合S=（-4，7），再化简集合T，注意运用基本不等式，再求补集，最后根据集合的包含关系，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）若命题Q为真命题，则设x²+（a+2）x+1=0判别式为△，
当△＜0时，A=∅，此时△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0；
当△≥0时，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

，即有

a≥0或a≤-4 a＞-2

，解得a≥0．
综上可得，a＞-4；
（2）若命题P为真，则|a-1|＜6，解得-5＜a＜7．
则有P，Q皆为真时a的取值范围为集合S=（-4，7），
由于T={y|y=x+

m

x

，x∈R，m＞0}={y|y≥2

m

或y≤-2

m

}，
则∁_RT={y|-2

m

＜y＜2

m

}，
由于∁_RT⊆S，则有2

m

≤7且-2

m

≥-4，即有0＜m≤

49

4

且0＜m≤4，
解得0＜m≤4．
故m的取值范围是（0，4]．

点评：本题考查二次方程根的分布，注意运用二次函数的性质，考查集合的包含关系，以及集合的化简和基本不等式的运用，属于中档题和易错题．