Question

设{a_n}是集合{2^t+m|0≤m＜t，且m，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即2，4，5，8，9，10，…将数列各项按照从上到下，从左到右的原则写成如图所示的三角形数表．

（Ⅰ）在答题卡上写出这个三角形数表的第四行的各数
（Ⅱ）求a₅₀的值
（Ⅲ）设第i行的各数之和为b_i（i=1，2，3…），（例如：b₁=2，b₂=4+5，b₃=8+9+10，…），求T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,归纳推理

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据新定义，可得三角形数表的第四行的各数；
（Ⅱ）a₅₀在图中的第10行第5列，即可求a₅₀的值
（Ⅲ）由题及图中规律可知，第i行的各数构成以2ⁱ为首项，1为公差的等差数列，且第i行有i个元素，利用错位相减法求和．

解答： 解：（I） 16，17，18，19              …（4分）
（II）由题及图中规律可知，图中第i行第j列的元素为2ⁱ+j-1，…（5分）
假设a₅₀在图中的第i行第j列的位置，因为1+2+3+…+9=

9×(9+1)

2

＜50，…（6分）
所以a₅₀在图中的第10行第5列，…（7分）
所以a50=210+4=1028…（8分）
（III） 由题及图中规律可知，第i行的各数构成以2ⁱ为首项，1为公差的等差数列，且第i行有i个元素，
所以bi=2i+(2i+1)+(2i+2)+…+(2i+i-1)=i•2i+

i(i-1)

2

=i•2i+

1

2

i2-

1

2

i…（9分）
b₁=2，Tn=

n

i=1

(i•2i)+

12+22+32+…+n2

2

-

1+2+3+…+n

2

…（10分）记Dn=

n

i=1

(i•2i)=2+2•22+3•23+…+n•2n(1)…（11分）2•Dn=22+2•23+3•24+…+(n-1)•2n+n•2n+1(2)
（1）-（2）得 -Dn=2+22+23+24+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1Dn=(n-1)2n+1+2…（13分）

12+22+32+…+n2

2

=

n(n+1)(2n+1)

12

1+2+3+…+n

2

=

n(n+1)

4

12+22+32+…+n2

2

-

1+2+3+…+n

2

=

n(n+1)(2n+1)

12

-

n(n+1)

4

=

n(n+1)(n-1)

6

Tn=(n-1)2n+1+2+

(n-1)n(n+1)

6

…（14分）

点评：本题考查新定义，考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．