Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=a（a≠0），且2S_n=（n+1）•a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与S_n；
（2）记A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

an-1

，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1，结合条件求数列{a_n}的通项公式a_n与S_n；
（2）利用裂项法求A_n，利用等比数列的求和公式求B_n，再比较A_n与B_n的大小．

解答： 解：（1）n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）•a_n-n•a_n-1
∴a_n=

n

n-1

•a_n-1，
∴a_n=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

•a₁=na₁=na，
n=1时也成立，∴a_n=na，S_n=

an(n+1)

2

；
（2）

1

Sn

=

2

a

（

1

n

-

1

n+1

），
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

），
∵a2n-1=2^n-1a，
∴B_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n-1

=

2

a

（1-

1

2n

），
n≥2时，2ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞1+n，
∴1-

1

n+1

＜1-

1

2n

．
∴a＞0时，A_n＜B_n；a＜0时，A_n＞B_n；

点评：本题考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．