Question

已知函数f（x）=

2x-a

x2+2

，其中a∈[-1，1]，若a=0，t∈[-1，1]，求满足f（t）+f（1-t2）＞0的实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：a=0时求出f（x），f′（x）=

-2x2+4

(x2+2)2

，令f′（x）=0得，x=±

2

，所以得到f（x）在(-

2

，

2

)上单调递增．根据t∈[-1，1]，容易得到-1≤t²-1≤0，并且可判断f（x）在R上是奇函数，所以可将原不等式变成，f（t）＞f（t²-1），根据f（x）在[-1，1]上的单调性便可得到t＞t²-1，解该不等式并将所得解和[-1，1]求交集即可得到t的取值范围．

解答： 解：a=0时，f′（x）=

-2x2+4

(x2+2)2

；
令-2x²+4=0得，x=±

2

；
∴x∈（-

2

，

2

）时，f′（x）＞0，即f（x）在(-

2

，

2

)上单调递增；
∵-1≤t≤1，∴0≤t²≤1，-1≤t²-1≤0；
即t，t²-1都在f（x）的单调增区间上，并且容易判断f（x）在R上是奇函数，∴由原不等式得：
f（t）＞f（t²-1）；
∴根据f（x）在[-1，1]上单调递增得：
t＞t²-1，解得

1- 5

2

＜t＜

1+ 5

2

，∵t∈[-1，1]，∴

1- 5

2

＜t≤1；
∴实数t的取值范围是(

1- 5

2

，1]．

点评：考查通过判断函数导数符号来判断函数单调性的方法，奇函数的定义，根据函数单调性解不等式的方法．