Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，一△ABC中三边之比为a：b：c=a₂：a₃：a₄，则△ABC的最大内角等于

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：根据题意和n≥2时a_n=s_n-s_n-1，分别求出a₂、a₃、a₄，再根据比例关系设三角形的三边为3k，5k，7k（k＞0），判断出最大角所对的边，利用余弦定理求出余弦值，再由内角的范围和特殊角的余弦值求出最大角．

解答： 解：由S_n=n²得，a₂=s₂-s₁=4-1=3，同理得a₃=5，a₄=7，
由a：b：c=a₂：a₃：a₄，设三角形的三边为3k，5k，7k（k＞0），
则边7k所对的角最大，令该三角形最大角为θ，
由余弦定理得，cosθ=

(3k)2+(5k)2-(7k)2

2×3k×5k

=-

1

2

，
又 0°＜θ＜180°，所以θ=120°，
故答案为：120°．

点评：本题考查数列中：n≥2时a_n=s_n-s_n-1的应用，以及余弦定理的应用，属于及基础题．