Question

设I={1，2，3…，199}，A={a₁，a₂，a₃，…a₁₀₀}?I，且A中元素满足：对任何1≤i＜j≤100，恒有a_i+a_j≠200．
（1）试说明：集合A的所有元素之和必为偶数；
（2）如果a₁+a₂+a₃+…a₁₀₀=10002，试求a₁²+a₂²+a₃²+…a₁₀₀²的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据集合A的元素的特点，分析A中的所有元素奇数和偶数的个数即可得到答案；
（2）由集合A中元素的特点，结合集合a_i，a_j的关系，欲求a₁²+a₂²+a₃²+…a₁₀₀²，因为（a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀₀^2）-（b₁+b₂…+b992）
=（a12-b12）+（a 22-b22)+…+（a992-b992）+a 1002，再进行求解．

解答： 解：（1）将集合I={1，2，3…，199}的所有元素分组为{1，199}、{2，198}、…、{99，101}、{100}，共100组；由已知得，集合A的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，
∴集合A的所有元素之和必为偶数．
（2）不妨设a₁，a₂…，a₉₉为依次从以上前99个集合中选取的元素，a₁₀₀=100，
且记各集合的落选元素分别为b₁，b₂，…b₉₉，则a_i+b_j=200，（i=1，2，…99）
由于1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

∴（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+（b₁+b₂+…+b_99）
=1²+2²+3²+…+199²=

199(199+1)(2×199+1)

6

=2646700，…①
而∴（a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀）+（b₁+b₂+…+b₉₉）=200×99=19800，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₉₉=10002-100=9902，
∴b₁+b₂+…+b₉₉=19800-9902=9898
∴（a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀₀²）-（b₁²+b₂²+…+b992）
=（a12-b12）+（a 22-b22)+…+（a992-b992）+a 1002
=（a₁+b₁）（a₁-b₁）+（a₂+b₂）（a₂-b₂）+…+（a₉₉+b₉₉）（a₉₉-b₉₉）+a1002
=200[（a₁+a₂+…+a₉₉）-（b₁+b₂+…+b₉₉）]+10000
=200（9902-9898）+10000=10800      …②
由①②得：（a12+a22…+a1002）=1328750．

点评：本题主要考查集合的新定义和数列的求和，属于中档题．