Question

已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F．
（1）求证：E、F、G、B四点共圆；
（2）若GF=2FA=4，求线段AC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：计算题,证明题,立体几何

分析：（1）连结BG，由AB为直径可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能证明E、F、G、B四点共圆；
（2）连结BC，由E、F、G、B四点共圆，运用切割线定理，得AF•AG=AE•BA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC²=AE•BA，代入数据，即可求出线段AC的长．

解答： （1）证明：如图，连结BG，
由AB为直径可知∠AGB=90°
又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°，
因此E、F、G、B四点共圆．
（2）解：连结BC，由E、F、G、B四点共圆，
所以AF•AG=AE•BA，
在Rt△ABC中，AC²=AE•BA，
由于GF=2FA=4，得AF=2，FG=4，即有AG=6，
所以AC²=2×6，
故AC=2

3

．

点评：本题考查四点共圆的证明，考查运用圆的切割线定理和直角三角形的射影定理，求线段长，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．