Question

已知函数f（x）=sinx•cos（x-

π

6

）+cos²x-

1

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

1

2

，b+c=3．求a的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时x的集合．
（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，利用基本不等式的知识求得a的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）+cos²x-

1

2

=

3

2

sinxcosx+

1

2

cos²x
=

1

2

（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

∴函数f（x）的最大值为

3

4

．当f（x）取最大值时

1

2

sin（2x+

π

6

）=1，
∴2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），解得x=kπ+

π

6

（k∈Z），．
故x的取值集合为{x|x=x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（Ⅱ）由题意f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，化简得 sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵A∈（0，π），
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

；
在△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc，
∵b+c=3．
∴bc≤（

b+c

2

）²=

9

4

，
∴a²≥

9

4

，当且仅当b=c=

3

2

时取最小值

3

2

．

点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及基本不等式的基本知识．