Question

对任意实数列A={a₁，a₂，a₃…}，定义△A={a₂-a₁，a₃-a₂，a₄-a₃，…}，它的第n项为a_n+1-a_n（n∈N⁺），假设△A是首项是a公比为q的等比数列．
（Ⅰ）求数列△（△A）的前n项和T_n；
（Ⅱ）若a₁=1，a=2，q=2．
①求实数列A={a₁，a₂，a₃…}的通项a_n；
②证明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）已知条件得△A={b1，b1q，b1q2…}，△(△A)={b1(q-1)，b1q(q-1)，b1q2(q-1)…}，由此能求出Tn=a(qn-1)，n∈N⁺．
（Ⅱ）①由题设bn=2n，由an+1-an=bn，(n∈N+)，叠加得an=2n-1（n∈N⁺）．
②由已条件推导出

ak

ak+1

＜

1

2

，且

ak

ak+1

＞

1

2

-

1

3•2k

，由此能够证明

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

解答： （Ⅰ）解：令△A={b₁，b₂，b₃…}，
这里bn=an+1-an，(n∈N+)，
∵△A是公比为q的等比数列．∴△A={b1，b1q，b1q2…}，
∴△(△A)={b1(q-1)，b1q(q-1)，b1q2(q-1)…}，
当q=1时，△（△A）={0，0，0…}，∴T_n=0．---（2分）
当q≠1时，△（△A）是公比为q，首项为b₁=（q-1）的等比数列.Tn=

b1(q-1)(1-qn)

1-q

=-b1(1-qn)=a(qn-1)．---（4分）
综上Tn=a(qn-1)，n∈N⁺．---（6分）
（Ⅱ）①解：由题设a=2，q=2，∴bn=2n，
∵an+1-an=bn，(n∈N+)，叠加，得an=2n-1（n∈N⁺）．---（8分）
②证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

2k-1

2(2k-1)

=

1

2

∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

＜

1

2

+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

．---（10分）
又∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

(2k- 1 2 )- 1 2

2(2k- 1 2 )

=

1

2

-

1

22(2k- 1 2 )

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

k∈N⁺，
2^k≥2，2^k-2≥0，3•2^k+2^k-2≥3•2^k，
即4•2^k-2≥3•2^k，∴2•（2^K+1-1）≥3•2^k，
∴-

1

2•(2K+1-1)

≥-

1

3•2k

，
∴

ak

ak+1

=

1

2

-

1

2•(2k+1-1)

≥

1

2

-

1

3•2k

．---（12分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

…+

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

即

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+

a3

a4

+…+

an

an+1

＜

n

2

．---（13分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．