Question

如图，在几何体ABC-A₁B₁C₁中，点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，E为AB₁中点，AB=AA₁=BB₁=2CC₁．
（Ⅰ）求证；CE∥平面A₁B₁C₁，
（Ⅱ）求证：平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取A₁B₁中点F，连接EF，FC，证明CE∥平面A₁B₁C₁，只需证明CE∥C₁F；
（Ⅱ）证明BC⊥AB₁，AB₁⊥A₁B，可得AB₁⊥平面A₁BC，即可证明平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

解答： 证明：（Ⅰ）∵点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
取A₁B₁中点F，连接EF，FC，则EF∥

1

2

A₁A，EF=

1

2

A₁A
∵AA₁=4，CC₁=2，∴CC₁∥

1

2

A₁A，CC₁=

1

2

A₁A，
∴CC₁∥EF，CC₁=EF，
∴四边形EFC₁C为平行四边形，
∴CE∥C₁F，
∵CE?平面A₁B₁C₁，C₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∵AB⊥BC，
∵AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面AA₁BB₁，
∵AB₁?平面AA₁BB₁，
∴BC⊥AB₁，
∵AA₁=BB₁=AB，AA₁∥BB₁，
∴四边形AA₁BB₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，
∴平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、面面垂直的判定定理是关键．