Question

在如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）若M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、D₁C₁的中点，求证：平面MNP∥平面A₁BD．
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）欲证平面MNP∥平面A₁BD，先证线面平行，连接B₁D₁，根据面面平行的判定定理可知，先证PN∥平面A₁BD，MN∥平面A₁BD，即可；
（II）连接BD，BD∩AC=0，连接OC₁，确定∠BC₁O为直线BC₁与平面A₁ACC₁所成的角，从而可得结论．

解答： （I）证明：连接B₁D₁，∵P、N分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，
∴PN∥B₁D₁．又B₁D₁∥BD，
∴PN∥BD．又PN不在平面A₁BD上，
∴PN∥平面A₁BD．
同理，MN∥平面A₁BD．又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A₁BD．
（II）解：连接AC，BD∩AC=0，连接OC₁，
由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA₁且AA₁∩AC=A
∴BO⊥平面AA₁C₁C
∴∠BC₁O为直线BC₁与平面A₁ACC₁所成的角
设正方体的棱长为a，则OB=

2

2

a，BC₁=

2

a
在Rt△BC₁O中，sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

1

2

∴∠BC₁O=30°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，考查正方体的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．