Question

点M（x，y）到定点F₁（2，0）的距离和它到定直线l：x=8的距离的比是常数

1

2

．
（1）求点M的轨迹C；
（2）求过F₂（-2，0）且倾斜角为45°的直线被曲线C所截的弦长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动点M（x，y），由圆锥曲线的共同性质知

(x-2)2+y2

|8-x|

=

1

2

，化简得点M的轨迹C；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，结合焦半径公式，即可求出过F₂（-2，0）且倾斜角为45°的直线被曲线C所截的弦长．

解答： 解：（1）设动点M（x，y），由圆锥曲线的共同性质知

(x-2)2+y2

|8-x|

=

1

2

，
化简得：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）椭圆的另一焦点为F₂（-2，0），过F₂（-2，0）的倾斜角为45°的直线方程为y=x+2，
与椭圆方程联立得7x²+16x-32=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

16

7

，
由焦半径公式AB=a+ex₁+a+ex₂=2a+e（x₁+x₂）=8+

1

2

(-

16

7

)=

48

7

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，是中档题．