Question

已知向量

m

=（cosx，-1），向量

n

=（

3

sinx，-

1

2

），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求角C的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及两角和与差三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式直接求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求出f（x）在[0，

π

2

]上的最大值3，推出A的值，利用正弦定理即可求角C的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=(

m

+

n

)•

m

=cos2x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+

3

2

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2
=sin(2x+

π

6

)+2．
因为ω=2，所以T=

2π

ω

=π．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f(A)=sin(2A+

π

6

)+2，x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
由正弦函数图象可知，当2x+

π

6

=

π

2

时f（x）取得最大值3，
所以2A+

π

6

=

π

2

，A=

π

6

．
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得sinC=

3

2

所以C=

π

3

或

2π

3

点评：本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．