Question

若数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₁=3a₁，b₃=S₂+3．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

bn

3an

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式求出a₁，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}为等比数列，则数列{a_n}的通项公式可求，再由b₁=3a₁，b₃=S₂+3求出数列{b_n}的首项和公差，则{b_n}的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=

bn

3an

，直接由错位相减法求数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，2S₁=3a₁-1，∴a₁=1，
当n≥2时，2a_n=S_n-2S_n-1=（3a_n-1）-（3a_n-1-1），即a_n=3a_n-1，
∵a₁=1≠0，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n-1，
设{b_n}的公差为d，b₁=3a₁=3，b₃=S₂+3=7=2d+3，d=2．
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）∵c_n=

bn

3an

=

2n+1

3n

，
∴Tn=

3

31

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

  ①

1

3

Tn=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n+1

3n+1

  ②
由①-②得，

2

3

Tn=1+

2

32

+

2

33

+

2

34

+…+

2

3n

-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 9 (1-( 1 3 )n-1)

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

．
∴Tn=2-

n+2

3n

．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．