若存在实常数k和b.使得函数f对其定义域上的任意实数x分别满足:f≤kx+b.则称直线l:y=kx+b为f的“隔离直线．已知函数f(x)=x2-1和函数g和函数g(x)的隔离直线方程为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x²-1和函数g（x）=2lnx，那么函数f（x）和函数g（x）的隔离直线方程为

．

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：求出函数的交点坐标，利用函数的导数求出切线方程即可得到结论．

解答： 解：作出函数f（x）=x²-1和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），

要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，
则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，
即k+b=0，解得b=-k，
函数f′（x）=2x，
即k=f′（1）=2，∴b=-2，
即隔离直线方程为y=2x-2，
故答案为：y=2x-2

点评：本题主要考查函数的切线和导数之间的关系，根据隔离直线的定义，确定隔离直线是两个函数的公共切线是解决本题的关键．

练习册系列答案

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设集合M={f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)=f(

)}．
（1）已知函数f(x)=

1+x2

(x＞0)，求证：f（x）∈M；
（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得g(x+

)=f(x)对任意x＞0成立．
（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g(x+

)=f(x)对任意x＞0成立．

若数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₁=3a₁，b₃=S₂+3．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

3an

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

已知二项式（

3	x

）ⁿ的展开式中的第三项为常数项，则n=

．

各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有

种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的x∈M（M⊆D），有x+T∈D，且f（x+T）≥f（x），则称函数f（x）为M上的T高调函数．
（1）现给出下列命题：
①函数f（x）=log

x为（0，+∞）上的T高调函数；
②函数f（x）=sinx为R上的2π高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是

；
（2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0 时，f（x）=|x²-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是

．

根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为

．

已知数列{a_n}满足首项为a₁=2，a_n+1=2a_n（n∈N^*）．设b_n=3log₂a_n-2（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

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