Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足3a²+3b²=c²+4ab，现设f（x）=tanx，则（　　）

• A、f（sinA）≤f（cosB）
• B、f（sinA）≥f（cosB）
• C、f（sinA）≤f（sinB）
• D、f（cosA）≤f（cosB）

Answer 1

考点：余弦定理,正切函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：由已知条件和余弦定理可得得2-cosC=

a2+b2

ab

，由基本不等式可得cosC≤0，进而可得A，B均为锐角，且0＜A+B≤

π

2

，由正弦函数和正切函数的单调性及诱导公式可得结论．

解答： 解：∵3a²+3b²=c²+4ab，∴c²=3a²+3b²-4ab，
又由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴3a²+3b²-4ab=a²+b²-2abcosC，
化简可得2-cosC=

a2+b2

ab

，
由基本不等式可得

a2+b2

ab

≥

2ab

ab

=2，当且仅当a=b时取等号，
∴2-cosC≥2，∴cosC≤0，∴C为钝角或直角，
∴A，B均为锐角，且0＜A+B≤

π

2

，
∴A≤

π

2

-B，∴sinA≤sin（

π

2

-B）=cosB，
∵正切函数y=tanx在（-

π

2

，

π

2

）单调递增，
∴tan（sinA）≤tan（cosB），即f（sinA）≤f（cosB），
故选：A

点评：本题考查余弦定理，涉及基本不等式和正切函数的单调性，属中档题．