Question

20．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于E，D是AB上一点，且DE⊥BE．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AD=2$\sqrt{6}$，AE=6$\sqrt{2}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）取BD中点O，连接OE，求出∠CBE=∠EBO，∠OEB=∠EBO，推出∠OEB=∠CBE，推出OE∥BC，求出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）设⊙O半径为R，在Rt△AOE中，由勾股定理得出（R+2$\sqrt{6}$）²=R²+（6$\sqrt{2}$）²，求出R=2$\sqrt{6}$，求出∠A=30°，∠CBE=∠OBE=30°，推出EC=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$R，代入求出即可．

解答 （1）证明：由DE⊥BE得：BD是△BDE的外接圆的直径
取BD中点O，连结OE，则O是△BDE的外接圆的圆心，
∴OB=OE，∴∠OBE=∠BEO（2分）
又BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE
∠BEO=∠CBE，故OE∥BC（4分）
因此OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．（6分）
（2）解：设⊙O半径为R，
则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（R+2$\sqrt{6}$）²=R²+（6$\sqrt{2}$）²，
解得：R=2$\sqrt{6}$，
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}$R=3$\sqrt{2}$．（10分）．

点评 本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．