Question

8．已知函数f（x）=lnx+2．
（1）若f（x）的切线过点P（0，2），求此切线的方程；
（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在区间[1，e]（其中e为自然数的底数）内有实根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标，表示出切线方程，将P（0，2）代入切线，求出切点的坐标，从而求出切线方程即可；
（2）求出k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，（x∈[1，e]），设h（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，根据函数的单调性求出h（x）在[1，e]的最值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）设切点是（x₀，lnx₀+2），
f′（x）=$\frac{1}{x}$，k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切线方程是y-（lnx₀+2）=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
此直线过P（0，2），代入得：lnx₀=1，
∴x₀=e，
∴切线方程是y-3=$\frac{1}{e}$（x-e），
即y=$\frac{1}{e}$x+2；
（2）由f（x）=kx+k，得k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，（x∈[1，e]），
设h（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，h′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{（x+1）}^{2}}$，
设p（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，p′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
∴p（x）在[1，e]递减，
∴x∈[1，e]时，p（x）≤p（1）=0，
∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]递减，
∴h（x）_最小值=h（e）=$\frac{3}{e+1}$，
h（x）_最大值=h（1）=1，
∴$\frac{3}{e+1}$≤k≤1时，f（x）=kx+k，（k＞0）在[1，e]内有实根，
∴k的范围是[$\frac{3}{e+1}$，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道中档题．